Varianza

Como forma de medir la dispersión de los datos hemos descartado:

,pues sabemos que esa suma vale 0, ya que las desviaciones con respecto a la media se compensan al haber términos en esa suma que son de signos distintos.

Para tener el mismo signo al sumar las desviaciones con respecto a la media podemos realizar la suma con valores absolutos. Esto nos lleva a la Dm, pero como hemos mencionado, tiene poco interés por las dificultades que presenta.

Si las desviaciones con respecto a la media las consideramos al cuadrado, , de nuevo obtenemos que todos los sumandos tienen el mismo signo (positivo). Esta es además la forma de medir la dispersión de los datos de forma que sus propiedades matemáticas son más fáciles de utilizar.

Vamos a definir entonces dos estadísticos que serán fundamentales en el resto del curso: La varianza y la desviación típica.

La varianza, , se define como la media de las diferencias cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su media aritmética, es decir Para datos agrupados en tablas, usando las notaciones establcidas en los capítulos anteriores, la varianza se puede escibir como Una fórmula equivalente para el cálculo de la varianza.

La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej. si las observaciones se miden en metros, la varianza lo hace en ). Si queremos que la medida de dispersión sea de la misma dimensionalidad que las observaciones bastará con tomar su raíz cuadrada.

Ejemplo
Calcular la varianza y desviación típica de las siguientes cantidades medidas en metros:

3,3,4,4,5

Solución: Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamente el valor con respecto al cual vamos a medir las diferencias.

siendo la desviación típica su raíz cuadrada:

Las siguientes propiedades de la varianza (respectivamente, desviación típica) son importantes a la hora de hacer un cambio de origen y escala a una variable. En primer lugar, la varianza (resp. Desviación típica) no se ve afectada si al conjunto de valores de la variable se le añade una constante. Si además cada observación es multiplicada por otra constante, en este caso la varianza cambia en relación al cuadrado de la constante (resp. La desviación típica cambia en relación al valor absoluto de la constante).